Rozwiązywanie układów równań liniowych jednorodnych o stałych współczynnikach, gdy macierz układu nie jest diagonalizowalna

Rozważmy układ równań postaci

\( x^\prime(t)=A\cdot x(t) \)

gdzie

\( A=\begin{bmatrix}a_{11}&\cdots &a_{1n}\\\vdots & \ddots & \vdots\\a_{n1}&\cdots &a_{nn} \end{bmatrix},\hskip 0.5pc \hskip 0.3pc a_{ij}\in \mathbb{R},\hskip 0.5pc \hskip 0.3pc x(t)=\begin{bmatrix}x_1(t)\\\vdots\\x_n(t)\end{bmatrix}. \)

Z algebry liniowej wiadomo, że macierz nie jest diagonalizowalna, jeżeli istnieje wartość własna, której krotność jest większa niż odpowiadający jej wymiar podprzestrzeni własnej.

Niech \( \hskip 0.3pc \lambda\hskip 0.3pc \) będzie wartością własną macierzy \( \hskip 0.3pc A\hskip 0.3pc \) o krotności \( \hskip 0.3pc k>1\hskip 0.3pc \) i wymiar podprzestrzeni własnej

\( V_{\lambda}^{(0)}=\{x:\hskip 0.3pc \hskip 0.3pc (A-\lambda I)x=0\} \)

jest mniejszy niż \( \hskip 0.3pc k\hskip 0.3pc \).

Na początek wprowadzimy pewne oznaczenia:

\( V_{\lambda}^{(i)}=\{x:\hskip 0.7pc (A-\lambda I)^{i+1}x=0\},\hskip 0.8pc i=1,\hskip 0.3pc 2,\ldots \hskip 0.4pc . \)

Zbiory \( \hskip 0.3pc V_{\lambda}^{(i)} \hskip 0.6pc i=1,\hskip 0.3pc 2,\ldots \hskip 0.3pc \) - są podprzestrzeniami wektorowymi przestrzeni \( \hskip 0.3pc \mathbb{R}^n\hskip 0.3pc \) i będziemy nazywać je podprzestrzeniami wektorów głównych rzędu \( \hskip 0.3pc i\hskip 0.3pc \).
Podprzestrzenie wektorów głównych dla wartości własnej \( \hskip 0.3pc \lambda\hskip 0.3pc \) tworzą ciąg wstępujący

\( V_{\lambda}^{(0)}\subset V_{\lambda}^{(1)}\subset V_{\lambda}^{(2)}\subset \ldots \subset V_{\lambda}^{(m)}. \)

Dokładniej mówiąc, istnieje liczba naturalna \( \hskip 0.3pc m\hskip 0.3pc \) taka, że

\( V_{\lambda}^{(0)}\varsubsetneq V_{\lambda}^{(1)}\varsubsetneq V_{\lambda}^{(2)}\varsubsetneq \ldots \varsubsetneq V_{\lambda}^{(m)},\hskip 0.6pc \dim V_{\lambda}^{(m)}=k\hskip 0.6pc {\rm i }\hskip 1pc \ V_{\lambda}^{(m)}=V_{\lambda}^{(l)}\hskip 0.3pc \hskip 0.3pc \hskip 1pc {\rm dla} \hskip 1pc m\le l. \)

Twierdzenie 1:

ZAŁOŻENIA:

Niech \( \hskip 0.8pc v^{(m)}\in V_{\lambda}^{(m)}\setminus V_{\lambda}^{(m-1)}\hskip 0.8pc \) i wektory \( \hskip 0.8pc v^{(m-1)},\hskip 0.3pc v^{(m-2)},\ldots ,v^{(1)},\hskip 0.6pc v^{(0)} \) będą określone następująco:

(2)

\( \begin{cases}v^{(m-1)}:=(A-\lambda I)v^{(m)}&\\v^{(m-2)}:=(A-\lambda I)v^{(m-1)}&\\\vdots &\\ v^{(1)}:=(A-\lambda I)v^{(2)}&\\v^{(0)}:=(A-\lambda I)v^{(1)}& \end{cases} \)

TEZA:

1. \( \hskip 0.8pc v^{(0)}\in V_{\lambda}^{(0)}\setminus \{0\} \hskip 1pc {\rm i} \hskip 1pc v^{(j)}\in V_{\lambda}^{(j)}\setminus V_{\lambda}^{(j-1)},\hskip 0.8pc {\rm gdzie} \hskip 0.6pc j=1,\ldots , \hskip 0.3pc m.\hskip 0.8pc \)

2. \( \hskip 0.8pc {\rm Wektory}\hskip 0.5pc v^{(0)},\hskip 0.5pc v^{(1)},\ldots ,v^{(m)}\hskip 0.5pc \) - są liniowo niezależne.

DOWÓD:

Z założenia o wektorze \( \hskip 0.3pc v^{(m)}\hskip 0.3pc \) i zależności \( \hskip 0.3pc (2)\hskip 0.3pc \) wynika, że

(3)

\( v^{(j)}=(A-\lambda I)^{m-j}v^{(m)}\hskip 1pc {\rm gdzie}\hskip 0.8pc j=0,\ldots , \hskip 0.3pc m \)

\( 0=(A-\lambda I)^{m+1}v^{(m)}=(A-\lambda I)^{j+1}\cdot (A-\lambda I)^{m-j}v^{(m)}=(A-\lambda I)^{j+1}v^{(j)}. \)

Stąd wynika, że

\( v^{(j)}\in V^{(j)} \hskip 1pc {\rm gdzie}\hskip 0.8pc j=0,\ldots , \hskip 0.3pc m. \)

Pokażemy teraz, że

\( v^{(0)} \neq 0\hskip 1pc {\rm i}\hskip 1pc v^{(j)} \notin V^{(j-1)}, \hskip 1pc {\rm gdzie}\hskip 1pc j=1,\ldots , \hskip 0.3pc m. \)

Dla dowodu nie wprost przypuśćmy, że \( \hskip 0.3pc v^{(0)}=0.\hskip 0.3pc \) Z zależności \( \hskip 0.3pc (3)\hskip 0.3pc \) dla \( \hskip 0.3pc j=0\hskip 0.3pc \) wynika, że

\( 0=v^{(0)}=(A-\lambda I)^{m}v^{(m)}. \)

Zatem \( \hskip 0.3pc v^{(m)}\in V_{\lambda}^{(m-1)}\hskip 0.3pc \) co jest sprzeczne z założeniem o \( \hskip 0.3pc v^{(m)}. \)

Przypuśćmy teraz dla dowodu nie wprost, że \( \hskip 0.3pc v^{(j)}\in V^{(j-1)}.\hskip 0.3pc \) Z zależności ( 3 ) wynika, że

\( 0=(A-\lambda I)^{j}v^{(j)}=(A-\lambda I)^{j}\cdot (A -\lambda I)^{m-j}v^{(m)}=(A-\lambda I)^{m}v^{(m)}. \)

Analogicznie jak wcześniej otrzymujemy sprzeczność z założeniem o \( \hskip 0.3pc v^{(m)}\hskip 0.3pc \) i kończy to dowód punktu pierwszego.

Wykażemy teraz prawdziwość punktu drugiego.
Niech

(4)

\( \displaystyle\sum_{j=0}^m \alpha _jv^{(j)}=0,\hskip 1.3pc {\rm gdzie} \hskip 1.3pc \alpha_0,\ldots \alpha_m\in \mathbb{R}. \)

Uwzględniając fakt, że \( \hskip 0.8pc (A-\lambda I)^{m}v^{(j)}=0\hskip 0.8pc \) dla \( \hskip 0.5pc j=0,\ldots ,m-1\hskip 0.5pc \) i \( \hskip 0.5pc (A-\lambda I)^{m}v^{(m)}=v^{(0)}\hskip 0.5pc \) otrzymujemy

\( 0=(A-\lambda I)^{m}(\sum_{j=0}^m \alpha _jv^{(j)})=\sum_{j=0}^m\alpha_j (A-\lambda I)^{m}v^{j}=\alpha_m v^{(0)}, \)

zatem \( \hskip 0.5pc \alpha_m=0.\hskip 0.5pc \)

Teraz zależność ( 4 ) można zapisać następująco:

\( \sum_{j=0}^{m-1} \alpha _jv^{(j)}=0,\hskip 1.3pc {\rm gdzie} \hskip 1.3pc \alpha_0,\ldots \alpha_{m-1}\in \mathbb{R}. \)

Obkładając obustronie powyższą równość operatorem \( \hskip 0.4pc (A-\lambda I)^{m-1}\hskip 0.4pc \) otrzymujemy

\( 0=(A-\lambda I)^{m-1}(\sum_{j=0}^{m-1} \alpha _jv^{(j)})=\sum_{j=0}^{m-1}\alpha_j (A-\lambda I)^{m-1}v^{j}=\alpha_{m-1} v^{(0)}. \)

Zatem \( \hskip 0.3pc \alpha_{m-1}=0.\hskip 0.3pc \)

Postępując analogicznie w ten sam sposób kolejno dla \( \hskip 0.5pc j= m-2,\hskip 0.3pc m-3,\ldots,\hskip 0.3pc 1,\hskip 0.3pc 0 \hskip 0.5pc \) wykazuje się, że wszystkie współczynniki \( \hskip 0.3pc \alpha_j\hskip 0.3pc \) są równe zero, co kończy dowód twierdzenia.

Twierdzenie 2:

ZAŁOŻENIA:

Niech \( \hskip 0.5pc v_1^{(m)},\ldots ,v_l^{(m)}\hskip0.5pc \) będą dowolnymi wektorami z \( \hskip 0.5pc V_{\lambda}^{(m)}\setminus V_{\lambda}^{(m-1)}\hskip 0.5pc \) takimi, że dla dowolnych \( \hskip 0.5pc \alpha_1^{(m)}, \ldots, \alpha_l^{(m)}\in \mathbb{R}\hskip 0.5pc \) nierównych jednocześnie zero spełniony jest warunek:

(5)

\( \displaystyle\sum_{k=1}^l\alpha_k^{(m)}v_k^{(m)} \notin V_{\lambda}^{(m-1)}. \)

Dla \( \hskip 0.5pc k=1,\ldots,l \hskip 0.5pc \) wektory \( \hskip 0.5pc v_k^{(m-1)},\hskip 0.3pc v_k^{(m-2)},\ldots ,v_k^{(1)},\hskip 0.3pc v_k^{(0)}\hskip 0.5pc \) określone są zależnością :

\( v_k^{(j)}:=(A-\lambda I)^{m-j}v_k^{(m)},\hskip 1pc j=0,\ldots, m-1. \)

TEZA:

Wektory

\( v_1^{(0)},\ldots ,\hskip 0.3pc v_1^{(m)},v_2^{(0)},\ldots ,\hskip 0.3pc v_2^{(m)} ,\ldots ,v_l^{(0)},\ldots ,\hskip 0.3pc v_l^{(m)} \)

są liniowo niezależne.

DOWÓD:

Niech

(6)

\( \displaystyle\sum_{k=1}^l\displaystyle\sum_{j=0}^m \alpha _k^{(j)}v_k^{(j)}=0,\hskip 1.3pc {\rm gdzie} \hskip 1.3pc \alpha_k^{(j)}\in \mathbb{R}. \)

Uwzględniając fakt, że \( \hskip 0.5pc (A-\lambda I)^{m}v_k^{(j)}=0\hskip 0.5pc \) dla \( \hskip 0.5pc j=0,\ldots ,m-1,\hskip 0.3pc k=1,\ldots,l\hskip 0.5pc \) i \( \hskip 0.5pc (A-\lambda I)^{m}v_k^{(m)}=v_k^{(0)}\hskip 0.5pc \)otrzymujemy

(7)

\( 0=(A-\lambda I)^{m}\left(\displaystyle\sum_{k=1}^l\displaystyle\sum_{j=0}^m \alpha _k^{(j)}v_k^{(j)}\right)=\displaystyle\sum_{k=1}^l\displaystyle\sum_{j=0}^m\alpha_k^{(j)} (A-\lambda I)^{m}v_k^{j}=\displaystyle\sum_{k=1}^l\alpha_k^{(m)} v_k^{(0)}. \)

Jeżeli nie wszystkie \( \hskip 0.5pc \alpha_k^{(m)},\hskip 0.3pc k =1,\ldots,l\hskip 0.5pc \) były by równe zero, to z założenia ( 3 ) i twierdzenia 1 wynika, że

\( (A-\lambda I)^{m}\left(\displaystyle\sum_{k=1}^l \alpha _k^{(m)}v_k^{(m)}\right)=\displaystyle\sum_{k=1}^l \alpha _k^{(m)}v_k^{(0)}\in V_\lambda^{(0)}\setminus \{0\} \)

co daje sprzeczność z ( 7 ). Zatem \( \hskip 0.5pc \alpha_1^{(m)}=\ldots =\alpha_k^{(m)}=0\hskip 0.5pc \) i zależność ( 6 ) można zapisać następująco:

\( \displaystyle\sum_{k=1}^l\displaystyle\sum_{j=0}^{m-1} \alpha _k^{(j)}v_k^{(j)}=0. \)

Obkładając teraz powyższą równość operatorem \( \hskip 0.5pc (A-\lambda I)^{m-1}\hskip 0.5pc \) i uwzględniając, że
\( \hskip 0.5pc (A-\lambda I)^{m-1}v_k^{(j)}=0\hskip 0.5pc \) dla \( \hskip 0.5pc j=0,\ldots ,m-2,\hskip 0.3pc k=1,\ldots,l\hskip 0.5pc \) i \( \hskip 0.5pc (A-\lambda I)^{m-1}v_k^{(m-1)}=v_k^{(0)}\hskip 0.5pc \) otrzymujemy

(8)

\( 0=(A-\lambda I)^{m-1}\left(\displaystyle\sum_{k=1}^l\displaystyle\sum_{j=0}^{m-1} \alpha _k^{(j)}v_k^{(j)}\right)=\displaystyle\sum_{k=1}^l\displaystyle\sum_{j=0}^{m-1}\alpha_k^{(j)} (A-\lambda I)^{m-1}v_k^{j}=\displaystyle\sum_{k=1}^l\alpha_k^{(m-1)} v_k^{(0)}. \)

Jeżeli nie wszystkie \( \hskip 0.5pc \alpha_k^{(m-1)},\hskip 0.3pc k =1,\ldots,l\hskip 0.5pc \) były by równe zero to z założenia ( 5 ) i twierdzenia 1 wynika, że

\( (A-\lambda I)^{m}\left(\displaystyle\sum_{k=1}^l \alpha _k^{(m-1)}v_k^{(m)}\right)=\displaystyle\sum_{k=1}^l \alpha _k^{(m-1)}v_k^{(0)}\in V_\lambda^{(0)}\setminus \{0\} \)

co daje sprzeczność z ( 8 ). Zatem \( \hskip 0.5pc \alpha_k^{(m-1)}=0,\hskip0.6pc k=1,\ldots ,l.\hskip 0.5pc \)
Postępując analogicznie kolejno dla \( \hskip 0.3pc m-2,\hskip 0.3pc m-3,\ldots,0\hskip 0.3pc \) wykazuje się, że \( \hskip 0.5pc \alpha_k^{(j)}=0\hskip 0.5pc \) dla \( \hskip 0.5pc j=0,\ldots ,m\hskip 0.3pc, k =1,\hskip 0.3pc \ldots,l,\hskip 0.5pc \) co oznacza, że wektory \( \hskip 0.5pc v_k^{(j)},\hskip 0.5pc j=0,\ldots ,m\hskip 0.3pc, k =1,\ldots,l,\hskip 0.5pc \) są liniowo niezależne i kończy to dowód twierdzenia.

Twierdzenie 3:

ZAŁOŻENIA:

Niech \( \hskip 0.5pc k<m\hskip 0.5pc \) i \( v_1^{(m)},\ldots ,v_n^{(m)}\hskip 0.5pc \) są dowolnymi wektorami z \( \hskip 0.5pc V_{\lambda}^{(m)}\setminus V_{\lambda}^{(m-1)}\hskip 0.5pc \) takimi, że dla dowolnych liczb \( \hskip 0.5pc \alpha_1^{(m)}, \ldots, \alpha_l^{(m)}\in \mathbb{R}\hskip 0.5pc \) nierównych jednocześnie zero spełniony jest warunek

\( \sum_{i=1}^n\alpha_i^{(m)}v_i^{(m)} \notin V_{\lambda}^{(m-1)}. \)

Dla \( \hskip 0.5pc j=0,\ldots ,m-1,\hskip 0.3pc i=1,\ldots,n\hskip 0.5pc \) wektory \( \hskip 0.5pc v_i^{(j)}\hskip 0.5pc \) określone są następująco:

\( v_i^{(j)}:=(A-\lambda I)^{m-j}v_i^{(m)}. \)

Ponadto zakładamy, że istnieją wektory

\( u_1^{(k)},\ldots ,u_s^{(k)}\in V_{\lambda}^{(k)}\setminus V_{\lambda}^{(k-1)} \)

takie, że dla dowolnych liczb \( \hskip 0.5pc \alpha_1^{(k)},\ldots,\alpha_n^{(k)},\hskip 0.3pc \beta_1^{(k)},\ldots ,\beta_s^{(k)}\hskip 0.5pc \) spełniony jest warunek

(9)

\( \displaystyle\sum_{i=1}^n\alpha_i^{(k)}v_i^{(k)}+\displaystyle\sum_{i=1}^s\beta_i^{(k)}u_i^{(k)} \notin V_{\lambda}^{(k-1)}. \)

Dla \( \hskip 0.5pc j=0,\ldots ,k-1,\hskip 0.3pc i=1,\ldots,s\hskip 0.5pc \) wektory \( \hskip 0.5pc u_i^{(j)}\hskip 0.5pc \) określone są następująco:

\( u_i^{(j)}:=(A-\lambda I)^{k-j}u_i^{(k)}. \)

TEZA:

Wektory

\( v_1^{(0)},\ldots ,v_1^{(m)},\ldots , v_n^{(0)},\ldots ,v_n^{(m)},u_1^{(0)},\ldots , u_1^{(k)}, \ldots,u_s^{(0)},\ldots ,u_s^{(k)} \)

są liniowo niezależne.

DOWÓD:

Niech

(10)

\( \displaystyle\sum_{i=1}^n\displaystyle\sum_{j=0}^m\alpha_i^{(j)}v_i^{(j)}+\displaystyle\sum_{i=1}^s\displaystyle\sum_{j=0}^k\beta_i^{(j)}u_i^{(j)}=0. \)

Uwzględniając, że

\( (A-\lambda I)^{k+1}v_i^{(j)}=0,\hskip 1pc i=1, \ldots ,n,\hskip 0.3pc j=0,\ldots ,k, \)

\( (A-\lambda I)^{k+1}v_i^{(j)}=v_i^{(j-k-1)},\hskip 1pc i=1, \ldots ,n,\hskip 0.3pc j=k+1,\ldots ,m, \)

\( (A-\lambda I)^{k+1}u_i^{(j)}=0,\hskip 1pc i=1, \ldots ,s,\hskip 0.3pc j=0,\ldots ,k \)

z zależności ( 10 ) otrzymujemy

(11)

\( \begin{aligned}0=&(A-\lambda I)^{k+1}\left (\displaystyle\sum_{i=1}^n\displaystyle\sum_{j=0}^m\alpha_i^{(j)}v_i^{(j)}+\displaystyle\sum_{i=1}^s\displaystyle\sum_{j=0}^k\beta_i^{(j)}u_i^{(j)}\right )= \\&\displaystyle\sum_{i=1}^n\displaystyle\sum_{j=0}^m\alpha_i^{(j)}(A-\lambda I)^{k+1}v_i^{(j)}+\displaystyle\sum_{i=1}^s\displaystyle\sum_{j=0}^k\beta_i^{(j)}(A-\lambda I)^{k+1}u_i^{(j)}=\\&\displaystyle\sum_{i=1}^n\displaystyle\sum_{j=k+1}^m\alpha_i^{(j)}v_i^{(j-k-1)}. \end{aligned} \)

Ponieważ z twierdzenia 2 wynika, że wektory \( \hskip 0.5pc v_i^{(j)},\hskip 0.5pc j=0,\ldots ,m\hskip 0.3pc i =1,\ldots,n,\hskip 0.5pc \) są liniowo niezależne, więc
\( \hskip 0.5pc \alpha_i^{(j)}=0\hskip 0.5pc \)dla \( \hskip 0.5pc i=1,\ldots ,n,\hskip 0.3pc j =k+1,\ldots,m.\hskip 0.5pc \)
Zatem zależność \( \hskip 0.3pc (10)\hskip 0.3pc \) można teraz zapisać następująco:

(12)

\( \displaystyle\sum_{j=0}^k\left (\displaystyle\sum_{i=1}^n\alpha_i^{(j)}v_i^{(j)}+\displaystyle\sum_{i=1}^s\beta_i^{(j)}u_i^{(j)}\right )=0. \)

Po obłozeniu obustronnym równania ( 11 ) operatorem \( \hskip 0.3pc (A-\lambda I)^k \) otrzymujemy

\( 0=\displaystyle\sum_{j=0}^k\left (\displaystyle\sum_{i=1}^n\alpha_i^{(j)}(A-\lambda I)^kv_i^{(j)}+\displaystyle\sum_{i=1}^s\beta_i^{(j)}(A-\lambda I)^ku_i^{(j)}\right )=\displaystyle\sum_{i=1}^n\alpha_i^{(k)}v_i^{(0)}+\displaystyle\sum_{i=1}^s\beta_i^{(k)}u_i^{(0)}. \)

Jeśli nie wszystkie \( \hskip 0.3pc \alpha_i^{(k)},\hskip 0.3pc \beta_i^{(k)}\hskip 0.3pc \) były by równe zero to mielibyśmy sprzeczność z założeniem ( 9 ). Zatem \( \hskip 0.3pc \alpha_i^{(k)}=0,\hskip 0.3pc i=1,\ldots ,n\hskip 0.3pc \) i \( \hskip 0.3pc \beta_i^{(k)}=0, \hskip 0.3pc i=1,\ldots ,s. \)
Postępując analogicznie kolejno dla \( \hskip 0.3pc k-2,\hskip 0.3pc k-3,\ldots,1\hskip 0.3pc \) wykazuje się, że \( \hskip 0.5pc \alpha_i^{(j)}=0\hskip 0.3pc \)dla \( \hskip 0.5pc j=0,\ldots ,m,\hskip 0.3pc i =1,\ldots,n,\hskip 0.5pc \) i \( \hskip 0.5pc \beta_i^{(j)}=0\hskip 0.3pc \)dla \( \hskip 0.5pc j=0,\ldots ,k,\hskip 0.3pc i =1,\ldots,s,\hskip 0.5pc \) co kończy dowód twierdzenia.

Uwaga 1:

Jeżeli wektory \( \hskip 0.5pc v^{(0)},\hskip 0.3pc v^{(1)},\ldots ,v^{(m)}\hskip 0.5pc \) są określone zależnością ( 2 ) to następujące funkcje są liniowo niezależnymi rozwiązaniami układu ( 1 ).

(13)

\( \begin{aligned} &x_1(t)=v^{(0)}e^{\lambda t},\hskip 0.5pc x_2(t)=(v^{(1)}+tv^{(0)}) e^{\lambda t},\hskip 0.5pc x_3(t)=(v^{(2)}+tv^{(1)}+\dfrac{t^2}{2}v^{(0)}) e^{\lambda t},\ldots,\\&x_{m+1}(t)=\left( v^{(m)}+tv^{(m-1)}+\frac{t^2}{2}v^{(m-2)}+\cdots + \frac{t^{(m-1)}}{(m-1)!}v^{(1)} +\frac{t^m}{m!}v^{(0)}\right)e^{\lambda t} .\end{aligned} \)

Istotnie, liniowa niezależność funkcji \( \hskip 0.5pc x_1(t),\ldots x_{m+1}(t)\hskip 0.5pc \) wynika z liniowej niezależności wektorów \( \hskip 0.5pc v^{(0)},\hskip 0.3pc v^{(1)},\ldots ,v^{(m)}. \) Pokażemy teraz, że funkcje

\( x_{k+1}(t)=\left( v^{(m)}+tv^{(m-1)}+\cdots +\frac{t^m}{m!}v^{(0)}\right)e^{\lambda t},\hskip 0.7pc k=0,\hskip 0.3pc 1,\ldots,m \hskip 0.5pc \)

są rozwiązaniami układu równań ( 1 )

Pochodna funkcji \( \hskip 0.5pc x_{k+1}(t)\hskip 0.5pc \) jest równa:

\( x_{k+1}^\prime(t)=\left( v^{(m-1)}+tv^{(m-2)}+\cdots +\frac{t^{m-1}}{{m-1}!}v^{(0)} +\lambda \left( v^{(m)}+tv^{(m-1)}+\cdots +\frac{t^m}{m!}v^{(0)}\right)\right)e^{\lambda t}. \)

Z zależności ( 2 ) mamy, że

\( A(v^{(0)})=\lambda v^{(0)},\hskip 1pc A(v^{(i)})=v^{(i-1)}+\lambda v^{(i)},\hskip 1pc i=2,\ldots,m. \)

Stąd wynika, że

\( \begin{aligned} &A(x_{k+1}(t))=\left( A(v^{(m)})+tA(v^{(m-1)})+\cdots +\dfrac{t^m}{m!}A(v^{(0)})\right)e^{\lambda t}=\\&\left( v^{(m-1)}+tv^{(m-2)}+\cdots +\frac{t^{m-1}}{{m-1}!}v^{(0)} +\lambda \left( v^{(m)}+tv^{(m-1)}+\cdots +\frac{t^m}{m!}v^{(0)}\right)\right)e^{\lambda t}=x_{k+1}^\prime(t)\end{aligned} \)

zatem \( \hskip 0.5pc x_{k+1}(t)\hskip 0.5pc \) jest rozwiązaniem równania ( 1 )

Uwaga 2: Wyznaczanie układu fundamentalnego rozwiązań układu ( 1 )

Chcąc wyznaczyć układ fundamentalny rozwiązań układu równań różniczkowych ( 1 ) postępujemy następująco:
1. Wyznaczamy wartości własne macierzy \( \hskip 0.5pc A \).
2. Dla każdej wartości własnej \( \hskip 0.5pc \lambda \hskip 0.3pc \)wyznaczamy maksymalną podprzestrzeń niezmienniczą \( \hskip 0.5pc V_{\lambda}^{(m)} \).
3. Wyznaczamy odpowiednią bazę przestrzeni \( \hskip 0.5pc V_{\lambda}^{(m)} \). Poniżej przedstawiam algorytm wyznaczania tej bazy:

Wprowadzamy następujące oznaczenia: \( \hskip 0.5pc n_i=\dim V_{\lambda}^{(i)}-\dim V_{\lambda}^{(i-1)}.\hskip 0.5pc \) Liczby \( \hskip 0.5pc n_i\hskip 0.5pc \) tworzą ciąg nierosnący :

\( 1\le n_m\le n_{m-1}\le\cdots\le n_2\le n_1 \)

. Krok 1. Wybieramy \( \hskip 0.5pc n_m\hskip 0.5pc \) wektorów

\( v_1^{(m)},\ldots , v_{n_m}^{(m)}\in V_{\lambda}^{(m)}\setminus V_{\lambda}^{(m-1)} \)

w ten sposób, że dla dowolnych liczb \( \hskip 0.5pc \alpha_1^{(m)},\ldots,\hskip 0.3pc \alpha_{n_m}^{(m)}\hskip 0.5pc \) nierównych jednocześnie zero, spełniony jest warunek

\( \sum_{i=1}^{n_m}\alpha_i^{(m)} v_i^{(m)}\in V_{\lambda}^{(m)}\setminus V_{\lambda}^{(m-1)} \)

. Następnie dla każdego \( \hskip 0.5pc i=1,\ldots, n_m\hskip 0.5pc \) korzystając z zależności ( 5 ) definiujemy wektory

\( v_i^{(m-1)},\hskip 0.3pc v_i^{(m-2)},\ldots,\hskip 0.3pc v_i^{(1)},\hskip 0.3pc v_i^{(0)} \)

Z twierdzenia 2 wynika, że wektory

\( v_1^{(0)},\hskip 0.3pc v_1^{(1)}, \ldots ,\hskip 0.3pc v_1^{(m)},\hskip 0.3pc v_2^{(0)}, \hskip 0.3pc v_2^{(0)},\ldots ,\hskip 0.3pc v_2^{(m)} ,\ldots ,v_{n_m}^{(0)}, v_{n_m}^{(1)},\ldots ,\hskip 0.3pc v_{n_m}^{(m)} \)

są liniowo niezależne.

Krok 2.
i. Jeżeli \( \hskip 0.3pc n_1=\cdots =n_m\hskip 0.3pc \) to układ wektorów zdefiniowanych w kroku 1 uzupełniamy wektorami własnymi tak, aby otrzymany układ wektorów stanowił bazę przestrzeni \( \hskip 0.5pc V_{\lambda}^{(m)}.\hskip 0.5pc \)
Wystarczy w tym celu do wektorów własnych z kroku 1 \( \hskip 0.5pc v_1^{(0)},\ldots, v_{n_m}^{(0)}\hskip 0.5pc \) dołączyć takie wektory własne aby otrzymany układ wektorów stanowiły bazę przestrzeni \( \hskip 0.3pc V_{\lambda}^{(0)}.\hskip 0.3pc \)
Wektory zdefiniowane w kroku 1 uzupełnione o te dodatkowe wektory własne stanowią bazę przestrzeni \( \hskip 0.5pc V_{\lambda}^{(m)} \).

ii. Jeżeli nie wszystkie liczby \( \hskip 0.5pc n_1,\ldots, n_m\hskip 0.5pc \) są sobie równe, to z tych liczb biorę najmniejszą, która jest większą od \( \hskip 0.5pc n_m\hskip 0.5pc \). Dla przykładu niech \( \hskip 0.5pc n_j\hskip 0.5pc \) będzie taką liczbą. Niech

\( v_1^{(0)},\hskip 0.3pc v_1^{(1)}, \ldots ,\hskip 0.3pc v_1^{(m)},\hskip 0.3pc v_2^{(0)}, v_2^{(1)},\ldots ,\hskip 0.3pc v_2^{(m)} ,\ldots ,v_{n_m}^{(0)}, \hskip 0.3pc v_{n_m}^{(1)},\ldots ,\hskip 0.3pc v_{n_m}^{(m)} \)

będą wektorami zdefiniowanymi w kroku 1 i niech \( \hskip 0.5pc k_j:=\dim V_{\lambda}^{(j)}-\dim V_{\lambda}^{(j-1)}.\hskip 0.5pc \)

Wybieramy \( \hskip 0.5pc k_j\hskip 0.5pc \) wektorów \( \hskip 0.5pc u_1^{(j)},\ldots , u_{k_j}^{(j)}\in V_{\lambda}^{(j)}\setminus V_{\lambda}^{(j-1)}\hskip 0.5pc \) w ten sposób, że dla dowolnych liczb \( \hskip 0.5pc\alpha_1^{(j)},\ldots ,\alpha_{n_m}^{(j)}, \beta_1^{(j)},\ldots ,\beta_{k_j}^{(j)}\hskip 0.5pc \) nierównych jednocześnie zero spełniony jest warunek

\( \sum_{i=1}^{n_m}\alpha_i^{(j)} v_i^{(j)}+\sum_{i=1}^{k_j}\beta_i^{(j)} u_i^{(j)}\in V_{\lambda}^{(j)}\setminus V_{\lambda}^{(j-1)} \)

Następnie dla każdego \( \hskip 0.5pc i=1,\ldots, k_j\hskip 0.5pc \) korzystając z zależności ( 2 ) definiujemy wektory \( \hskip 0.5pc u_i^{(j-1)},u_i^{(j-2)},\ldots,u_i^{(1)},u_i^{(0)}\hskip 0.5pc \).

Z twierdzenia 3 wynika, że wektory

\( v_1^{(0)},\ldots ,\hskip 0.3pc v_1^{(m)},\ldots ,v_{n_m}^{(0)}, \ldots ,\hskip 0.3pc v_{n_m}^{(m)}, u_1,\ldots ,\hskip 0.3pc u_1^{(j)},\ldots ,u_{k_j}^{(0)}\ldots ,\hskip 0.3pc u_{k_j}^{(j)} \)

są liniowo niezależne.

Jeżeli \( \hskip 0.5pc n_1=\cdots =n_j\hskip 0.5pc \) to otrzymany układ wektorów stanowi bazę przestrzeni \( \hskip 0.5pc V_{\lambda}^{(m)},\hskip 0.5pc \) gdy liczba tych wektorów jest równa krotności wartości własnej \( \hskip 0.5pc \lambda.\hskip 0.5pc \)
W przeciwnym razie układ tych wektorów uzupełniamy wektorami własnymi tak, by nowo powstały układ był bazą przestrzeni \( \hskip 0.5pcV_{\lambda}^{(m)}.\hskip 0.5pc \)
Jeżeli nie wszystkie liczby \( \hskip 0.5pc n_1,\ldots, n_j\hskip 0.5pc \) są sobie równe to z tych liczb biorę najmniejszą, która jest większą od \( \hskip 0.5pc n_j\hskip 0.5pc \) i postępujemy analogicznie jak wcześniej.
4. Dla tak skonstruowanej bazy przestrzeni \( \hskip 0.5pc V_{\lambda}^{(m)}\hskip 0.5pc \) korzystając z uwagi 1 wyznaczamy rozwiązania liniowo niezależne układu równań różniczkowych ( 1 )
5. Ponieważ wektory własne odpowiadające różnym wartościom własnym są liniowo niezależne. Więc zbiór rozwiązań układu ( 1 ) określony w punkcie 4 dla każdej wartości własnej jest liniowo niezależny i stanowi układ fundamentalny rozwiązań układu ( 1 ).

Temat:
Opis:
Typ:

Email:

Matematyka

Rozwiązywanie układów równań liniowych jednorodnych o stałych współczynnikach, gdy macierz układu nie jest diagonalizowalna

Twierdzenie 1:

ZAŁOŻENIA:

TEZA:

DOWÓD:

Twierdzenie 2:

ZAŁOŻENIA:

TEZA:

DOWÓD:

Twierdzenie 3:

ZAŁOŻENIA:

TEZA:

DOWÓD:

Uwaga 1:

Uwaga 2: Wyznaczanie układu fundamentalnego rozwiązań układu ( 1 )